這個是用pytorch蓋LeNet的時候，在輸出的時候加上softmax發現效果很差，所以就來研究softmax的數學特性，順便把LogSoftmax也一起比較．
softmax的功用：
softmax是把一群數據x=[x1,x2,…,xn]，都指數化，然後加總，再把加總除每個分項，結果會讓每個分項都介於0~1，和sigmoid不同的，softmax後的數據組總和會是1
下圖是softmax的數學推導，主要是在反向傳遞上，softmax_xi對xi的微分後，可以拆成兩個分項，(1-softmax_xi)*softmax_xi，也就是說softmax算出來多少，誤差傳遞的鏈鎖上就會多乘這兩個分項，那這個在計算上會有什麼效果呢？
如果在softmax_xi很大的情況下（接近1)，比如說0.999，那整個反向傳遞就會多乘上(0.999)(1–0.999)=0.999*0.001=0.000999，這代表你的誤差整整縮小超過1000倍，除非loss本身就很大，不然整體網路的訓練效果會非常非常差．
同理在softmax_xi很小（接近0）的情況下也會有一樣的情況．
還有一種是sofmax組內數據很多的時候，每個分項除下來都很小，這種時候整個網路的訓練效率就非常非常差．
因此softmax的限制其實不小，很容易就權重更新龜速．
logsoftmax的功用：
這個則是把softmax算出的結果取log，對於小於自然對數e的數字而言，取log後會小於零，所以輸出都是負值，而且越小的值取log後，輸出效果會越顯著，比如softmax=0.001，那取log會變成：-6.90775，因此經過logsoftmax以後的數據組就很難敘述他的特性了，運算如下圖
重點在於反向傳播的部分，他的微分後的結果是(1-softmax_xi)，和softmax相比少了一項，因此就不會有softmax分項極大或極小的狀況下，誤差回傳效果極差的現象．
logsoftmax在輸出越負的狀況下，反向傳遞的倍率會越接近1，在輸出越接近0的情況下，反向傳遞的倍率會越接近0．（logsoftmax輸出都是負的，輸出越負，取絕對值後反而是越大的）
這個特殊的反向傳遞現象會有幾個結果，
- loss的magnitude很大，輸出的magnitude也很大，倍率接近1，因此反向傳遞的更新極快
- loss的magnitude很大，輸出的magnitude很小，倍率接近0，因此反向傳遞的更新偏慢
- loss的magnitude很小，輸出的magnitude很大，倍率接近1，因此反向傳遞的更新偏慢
- loss的magnitude很小，輸出的magnitude也很小，倍率接近0，因此反向傳遞幾乎無法更新
由於神經網路的配置很多樣化和初始權重隨機的條件下，各種可能性都有，但以本次講解的LeNet來說，訓練的中期以後就是loss magnitude偏小，輸出的magnitude也逐漸偏小，因此權重更新的速度也會慢慢降低．